设A为n阶矩阵,A≠0但A的3方=0,为什么A的n个特征值全为0？

Question

如题所述

Answer 1

设a是特征值，对应的特征向量为x，即ax=ax，左乘a得a^2x=aax=a^2x，继续递推下去有
a^kx=a^kx，即a^k是a^k（=0）的特征值，因此a^k=0，a=0

Answer 2

如果x是A的特征向量,
t是相应的特征值,
那么0=A^3x=AAAx=AAxt=Axtt=xttt=xt^3,
注意x非零,
所以t^3=0,
t只能是0

Answer 3

设特征值xi（123）
特征向量ai（i=123）
A（AAa）=0AAa x1=0，a1=AAa
A（Axa）=0Axa x2=0，a2=Axa
A（xxa）=0xxa x3=0，a3=xxa